Nieuws

Fibonacci: de macht van het getal


Er bestaat een getallenreeks die overal en altijd weer opduikt. In planten, dieren, bouw- en kunstwerken, zelfs in zwarte gaten en volgens sommigen ook op de aandelenbeurs. Waar komt dit getal vandaan en waarom is het zo bijzonder?

Ooit aan de bloemblaadjes van een madeliefje geplukt? Om bijvoorbeeld de duurzaamheid van je liefde te toetsen? Ze houdt van mij. Zij houdt niet van mij. Zij houdt wel van mij.

In dat geval heb je ongemerkt een even wiskundig als mysterieus experiment gedaan. Tenminste, als je alle blaadjes tot en met de laatste hebt geteld. Er bestaat namelijk een grote kans, afhankelijk van het soort madelief, dat je uitkomt op 34 of 55 bloemblaadjes. Op het eerste gezicht lijkt dat niets bijzonders, maar niets is minder waar.zonnebloemen

De twee getallen maken namelijk deel uit van een illustere reeks die al eeuwen lang de gemoederen bezighoudt: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, enzovoort. Beter bekend als de Fibonacci rij.

De naamgever, een Italiaanse diplomatenzoon uit de dertiende eeuw, knobbelde de getallen bij elkaar en noteerde ze in zijn boek Liber Abaci. Naast zijn reeks kwam de schrijver met meer nieuws, zoals Hindoe-Arabische getalstekens en rekenmethoden die we nu nog steeds gebruiken. Maar het meest tot de verbeelding spreekt nog altijd het ogenschijnlijk merkwaardige rijtje getallen dat zijn naam draagt.

Konijnenrij

Eigenlijk is het verhaal achter de getallen nogal banaal. Fibonacci hield zich namelijk bezig met het oplossen van allerlei handelsproblemen en één daarvan betrof de konijnenfok. De man wilde gewoon uitrekenen hoe snel een paar konijnen een hele stamboom van nieuwe koppels bij elkaar paart. Als alle nieuwe tweetallen op hun beurt maandelijks twee nieuwe nakomelingen voortbrengen, dan kom je vanzelf uit op 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 paren, en zo verder. Elk nieuw getal (het aantal konijnenparen dus) is de optelsom van de twee voorgaande getallen. Voor het rekengemak liet Fibonacci zaken als vruchtbaarheid, inteelt en sterfte buiten beschouwing. konijnen

Maar wat hebben konijnenfok en 34 bloembaadjes nu met elkaar te maken? Dat is precies het grote mysterie dat biologen, filosofen, mystici en zelfs kunstenaars al eeuwen fascineert. De wereld om ons heen blijkt namelijk vol te zitten met Fibonacci getallen. Niet alleen madeliefjes voldoen aan de bijzondere reeks.

Tel maar eens na bij de bloemist of in de tuin. Een lelie heeft drie bloemblaadjes, boterbloemen tellen vijf stuks, een Afrikaantje dertien en een aster 21. Niet overtuigd? Probeer maar eens een klavertje vier te vinden in de vrije natuur. De kans op een klavertje vier bedraagt één op tienduizend en dan betreft het nog een mutatie ook. Drie is de norm en ‘toevallig’ ook een Fibonacci getal. En kijk meteen even in de fruitschaal. De meeste bananenschillen bestaan uit vijf delen. De vlakken op een ananas vertonen rijen van acht diagonalen in de ene richting en dertien in de andere.

Gulden snede

De Fibonacci reeks staat niet op zichzelf als een wonderlijke speling der natuur. Wie een getal uit de reeks deelt op zijn voorganger, bijvoorbeeld 21 gedeeld door 13 of 55 gedeeld door 34, komt met zijn uitkomst steeds uit rond een ander bijzonder getal: 1,62. Zeker als je hogere getallen uit de reeks van Fibonacci gebruikt, zit je er steeds tot op een paar decimalen bij. Op zichzelf is dat natuurlijk al opmerkelijk genoeg. Maar er is meer aan de hand. Dit getal kennen we namelijk als de gouden snede.

Rond 300 voor Christus berekende de Griekse wiskundige Euclides 1,618034 aan de hand van een eenvoudige lijn die hij deelde in twee ongelijke stukken. (zie afbeelding) Daarbij zorgde hij dat het langste deel in dezelfde verhouding stond tot de totale lengte, als het kortste deel tot het langste. Beide verhoudingen waren 1,61834 – bij benadering want het is een zogenoemd ‘irrationaal’ getal: het blijft zich maar delen.phi

Pas in de negentiende eeuw krijgt het getal zijn wetenschappelijke naam: Phi (?), naar de Griekse beeldhouwer Pheidias. Niet te verwarren met pi (3,14159265) dat de verhouding tussen de omtrek van een cirkel en zijn diameter aangeeft. In dezelfde periode raakt ook zijn populaire naam in zwang, de gulden snede die de ideale verhouding der dingen zou bepalen.

Ingenieus slakkenhuis

Het principe van de gulden snede is misschien nog het eenvoudigst uit te leggen aan de hand van een rechthoek. Uit deze rechthoek haal je een kleinere rechthoek, zie figuur 1 en 2, met dezelfde verhoudingen als de rechthoek waarmee je bent begonnen. gulden snedeDe twee rechthoeken staan tot elkaar als 1 staat tot Phi. Gebruik je andere verhoudingen, zoals in figuur 3, dan ben je de ‘gouden snede’ kwijt.  Het interessante is dat je met die uitsnijdingen door kunt gaan tot de kleinst mogelijke rechthoek met dezelfde verhoudingen als de eerste rechthoek (figuur 4). Puur theorie? Nee hoor. Sommige slakken draaien hun huisje (bijna) precies op deze manier in elkaar. Als je een lijn trekt aan de buitenkant van de opgedeelde rechthoek dan kom je uit op een spiraal die zich steeds ‘sneller’ lijkt in te draaien, zoals de schelp van de Nautilus (figuur 5).

Ditzelfde patroon van steeds kleinere herhalingen zie je ook terug in de hoorns van sommige geiten. Maar er zijn meer dieren die zich kennelijk ‘laten inspireren’ door de gulden snede. Ook sommige spinnenwebben voldoen aan deze verhouding.slakkenhuis Er zijn roofvogels die met steeds kleinere cirkels neerdalen op hun prooi, keurig volgens de gulden snede. Eerlijk is eerlijk, meestal gaat het om een benadering van de gulden snede zoals Euclides die ooit heeft berekend. Toch blijft de overeenkomst even treffend als wonderlijk. Vooral het feit dat je de verhouding zo veel tegenkomt is verbazingwekkend.

Blauwdruk van schepper?

Het allerberoemdste voorbeeld van de gulden snede is de zonnebloem. Van boven gezien lijkt de verdeling van de zonnebloempitten al een ingenieus ontwerp. De pitten vertonen twee verschillende groeirichtingen. De ene groeirichting komt vaker voor dan de andere, maar altijd in de bekende Fibonacci verhouding: 21 keer en 34 keer of 34 keer en 55 keer bijvoorbeeld. De bemoeienis van de Fibonacci getallen blijft echter niet beperkt tot zaden. [zie afbeelding] Zelfs de groene blaadjes die omhoog draaiend op de steel van de zonnebloem groeien, staan in een Fibonacci verhouding tot elkaar.zonnebloem

Waarom pakken zoveel dieren en planten hun groei en zelfs beweging op deze manier aan? Als dit toeval moet zijn, dan is dat natuurlijk wel heel kras. Het lijkt inderdaad wel alsof er een universele blauwdruk voor groei en vormgeving bestaat. Deze vraag fascineert biologen, maar ook mystici en zelf estheten al eeuwen. Zou er een patroon bestaan dat zo krachtig is dat het wel van de hand van een ontwerper (lees schepper) moet komen?

Gegrepen door getallen

De werkelijkheid is waarschijnlijk prozaïscher dan onze verbeelding. Het universele patroon dat wij in zovele levensvormen herkennen, blijkt een kwestie van natuurlijke efficiëntie, een evolutionair beproefd en geslaagd bouwmodel voor plant en dier.

In het geval van de zonnebloem telt geen schoonheid, maar het belang van de plant om alle zaden zo’n goed mogelijke kans te geven om te volgroeien in zijn bloem. Dat vraagt een optimale verdeling van zaden over het ronde bloemhart. Hun groei in spiralen die twee richtingen uitwaaieren, is daarom in de eerste plaats een staaltje van doelmatig ruimtegebruik. Ook zijn bladgroei is een kwestie van efficiëntie. Onder een bepaalde hoek, die kennelijk onze gulden snede benadert, groeien de verschillende blaadjes zo min mogelijk in elkaars schaduw.

Om die reden draait Albert van der Schoot in zijn boek De ontstelling van Pythagoras de zaak van de gulden snede om. De wereld om ons heen biedt geen orde volgens een simpel getal, wij zien orde in de dingen om ons heen en vangen die vervolgens in vergelijkingen en reeksen. Dat de term gulden snede pas in de negentiende eeuw in zwang raakte, is volgens Van der Schoot daarom geen toeval. In die tijd kregen wetenschap en techniek steeds meer grip op allerlei aspecten van het leven en raakte de natuur op de achtergrond. Vertegenwoordigers van de Romantiek grepen de gulden snede met beide handen aan om de universele eenheid van de mens en de natuur te benadrukken. Anno 2007 rest ons alleen nog de verwondering.